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美丽的反常积分及其应用, 无限形状的有限区域, 数学让世界更美好

2022-01-14 动态 2 ℃ 0 评论
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当我第一次听说存在着面积有限的无限形状时,我感到相当震惊!我认为这是一个悖论。然而,当深入了解后,它不仅不是一个悖论,而且事实上,许多问题只有通过使用这些 "无限的形状 "才能解决。

在学习微积分这一门课程时,我们首先了解的是极限的概念。在数学中,我们用极限来定义一些数学对象,如数列、导数和积分等。

极限

极限理论是微积分的核心概念。就像加法对算术的重要性和可除性对数论的重要性一样,由于极限在积分的定义中起着重要作用,特别是在反常积分中,我认为有必要回顾一下什么是极限。

一个实数数列接近一个数字L的极限,仅仅意味着这个数列会任意地接近L。无论有多接近L(即你选一个数字r,使|L-r|非常接近0),极限会在某一点上都会变得更接近。

这是一个非正式的描述。极限正式的定义在各种高数教科书和网络上都能找到,这里就不写出了。这里有一些著名的极限例子。

积分

函数f从a到b的积分只是函数f的图形与x轴之间从实数a到实数b的有向面积。我们所说的有向面积是指:位于x轴以下的区域,即f(x)<0时,要从位于x轴以上的区域中减去。下面的图片就是对此的说明。

我们计算一个给定积分的方法也是通过使用极限。请注意,一个函数的曲线下的面积可以用一个细长方形的总和来近似。而通过将积分区间分成越来越细的矩形,我们就会越来越接近曲线下的准确面积。这可以通过下面的GIF图来体现。

在极限情况下,当矩形的数量接近无穷大时,这个近似值就变得精确了,我们把这个极限定义为积分。

更准确地说,这种类型的积分被称为黎曼积分,是以伟大的数学家波恩哈德·黎曼(Bernhard Riemann)的名字命名的。

反常积分积分

反常积分基本上是黎曼积分,在这个积分区间的两个端点上函数都没有定义。也就是说,如果f是一个定义在区间[a, b)上的函数,但对实数b没有定义,并且如果存在以下极限:

则I被称为反常积分,当区间为[a, ∞)时,这也成立。下面是反常积分的一些应用。

例1

例如,假设f(x)=e^(-x),那么我们可以计算出以下的积分:

也就是说,这个函数的曲线下的面积,尽管是无界的,但实际上是有限的。

例2

正态分布涉及到一个可以在整条实线上取值的随机变量,由于它是一个概率分布,我们有:

其中σ是标准差,μ是平均值。这个积分也是一个反常积分,有时我们想知道,例如x≤c的概率是多少。为了计算这个问题,我们需要计算下面这个反常积分:

例3

伽马函数是数学中最重要的函数之一。它被用于实分析、复分析、数论、物理学和许多其他学科中。

这个函数本身是由以下的反常积分定义的:

傅里叶变换

毫无疑问,傅里叶变换是科学中应用最广泛的数学工具之一。该工具本身属于积分变换和谐波分析的范畴,它有许多著名的“变种”,例如拉普拉斯变换。

变换是某个函数空间上的一个算子。也就是说,它接受一个函数作为输入,并返回一个函数作为输出。很像微分算子对函数进行微分,这个算子只适用于某些函数。

一个函数f的傅里叶变换定义如下:

因此,这需要使用两次反常积分的极限定义。

本文来源:http://adwzw.cc/dongtai/4932.html

Tags:反常及其应用更美好

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